\documentclass[12pt]{article}
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\title{%\includegraphics{LogoIUT.ps}\\
Partiel de mathématiques discrètes, semestre 1, mars 2009.\\
Durée : 2 heures.} 
\date{}
\geometry{hmargin=1.5cm, vmargin= 1.5cm}
\author{J.-F. \sc{Couchot}}
\begin{document}
\maketitle


\section*{Exercices (10 pts)}

\subsection*{Exercice 1 (3pts)}
On considère l'ensemble $E=\{1,2,3\}$ et $P(E)$ l'ensemble des parties de $E$.
\begin{enumerate}
\item Donner $P(E)$ et montrer que l'intersection 
de deux éléments quelconques de $P(E)$ contient au plus deux éléments.
\item Donner un exemple d'injection $\mathcal{I}:a \rightarrow b$, où $a$ et $b$ sont deux éléments quelconques de $P(E)$
\item Donner un exemple de deux applications $\mathcal{F}:a \rightarrow b$ et 
 $\mathcal{G}: b \rightarrow c$ telles ques les trois conditions
 suivantes soient vérifiées:
\begin{itemize} 
\item $a$, $b$ et $c$ sont trois éléments de $P(E)$;
\item $\mathcal{G} o \mathcal{F}$ est une injection;
\item $\mathcal{G}$ n'est pas une injection.
\end{itemize}
\end{enumerate}


\subsection*{Exercice 2 (4pts)}
Soit $A$, $B$ et $C$ trois ensembles inclus dans $E$. 
Démontrer chacune des propositions suivantes:
\begin{enumerate}
\item $A \cap B = A \cap C \Leftrightarrow A \cap (E \setminus B) = A \cap (E \setminus C)$
\item $\left\{ \begin{array}{l}
      A \cup B = A \cap C \\
      B \cup C = B \cap A \\
      C \cup A = C \cap B  \end{array} \right \} \Rightarrow A = B = C$
\item $(A \setminus C) \setminus (B \setminus C) = A \setminus (B \cup C)$
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3 (3pts)}
Soit $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ telle que $f: x \mapsto x+1$ et 
$g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ telle que $g: x \mapsto 
\left\{ 
  \begin{array}{ll}
  0 & \textrm{si } x = 0 \\
  x-1 & \textrm{si } x \ge 1 
\end{array}
\right.
$.

Etudier l'injectivité, la surjectivité, la bijectivité éventuelles de 
$f$ puis de $g$.


\section{QCM (10 pts)}

Vous aurez +1 à chaque valeur de vérité trouvée, -1 à chaque erreur (et 0 en absence de réponse). Les notes seront ajustées à l'intervalle $[0;20]$ (les notes négatives auront 0). 

Q. 1. On parle de relation fonctionnelle quand tout élément de l’ensemble de départ possède au plus une image.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 2. La réunion entre deux ensembles est l'ensemble des éléments appartenant aux deux ensembles.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 3. Une application injective est une application telle que tout élément de l'ensemble d'arrivée possède exactement un antécédent. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 4. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $P(A)$ contient 3 éléments.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 5. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $\{d,e,f\} \in A$L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 6. Le complémentaire de $A$ dans $E$ est l'ensemble des éléments de $A$ qui ne sont pas dans $E$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 7. La réunion de deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments appartenant à $A$ ou à $B$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 8. Une application est une relation binaire.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 9. $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, |y| = x^3 \}$ est une relation fonctionnelle. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 10. La réunion entre deux ensembles est l'ensemble des éléments appartenant à au moins l'un des deux ensembles.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 11. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire. Il est possible d'avoir $x \mathcal{R} y$ sans avoir $y \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 12. Une application injective est une application telle que tout élément de l'ensemble d'arrivée possède au plus un antécédent. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 13. $\mathcal{R} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, y-x+2 = 0 \}$ est une relation binaire.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 


Q. 14. L'intersection de deux ensembles est l'ensemble des éléments appartenant à au moins un des deux ensembles.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 15. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est surjective. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 16. Le cardinal d'un ensemble fini est son nombre d'éléments. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 17. On a défini une relation binaire $\mathcal{R}$ entre deux ensembles $E$ et $F$ lorsqu’on s'est donné une partie de $E \times F$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 18. $\mathcal{R} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, xy = 1 \}$ est une relation fonctionnelle.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 19. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $P(A)$ contient 64 éléments. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 20. Il existe des relations fonctionnelles qui ne sont pas des relations binaires.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 21. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire. Le graphe de $\mathcal{R}$ est symétrique par rapport à la diagonale. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 22. L'intersection entre deux ensembles est l'ensemble des éléments appartenant aux deux ensembles.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 23. Le complémentaire des entiers pairs dans $\mathds{N}$ est égal à l'ensemble des entiers impairs. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 


Q. 24. Le complémentaire de l'ensemble des entiers positifs ou nuls dans $\mathds{N}$ est égal à l'ensemble des entiers strictement négatifs. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 25. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $a \in A$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 26. Les applications bijectives sont les applications injectives et surjectives.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 27. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $\emptyset \subset A$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 28. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est injective.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 29. Une relation fonctionnelle est une application.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 30. Si $f:E \longrightarrow F$ est bijective, alors tout élément de $F$ possède exactement un antécédant dans $E$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 31. Une application bijective est surjective.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 


Q. 32. Une application de $E$ dans $F$ est telle que $\forall x \in E$, il existe un unique élément $y \in F$ en relation avec $x$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 


Q. 33. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $ \{c \} \subset A$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 34. Une application est une relation binaire particulière.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 35. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $\{\{a,b\}\} \subset A$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 36. Il existe un unique ensemble vide. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 37. Le complémentaire de $A$ dans $E$ est l'ensembles des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 38. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $\{\{a,b\}\} \subset A$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 


Q. 39. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire. Le graphe de $\mathcal{R}$ est symétrique par rapport à la diagonale.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 


Q. 40. Une application de $E$ dans $F$ est telle que $\forall x \in E$, il existe un unique élément $y \in F$ en relation avec $x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 41. $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, |y| = x^3 \}$ est une application. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 42. Une application injective est une application telle que tout élément de l'ensemble de départ possède au plus une image.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 43. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $P(A)$ contient 4 éléments.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 44. L'intersection de deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments appartenant à $A$ ou à $B$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 


Q. 45. Soit $A =\{\{a,b\},\{c\},\{d,e,f\}\}$. $P(A)$ contient 8 éléments. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 46. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est injective. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 47. $\sin : [0,\pi] \longrightarrow [-1,1]$ est surjective. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 48. $A \cup B$ est la réunion de $A$ et de $B$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 

Q. 49. $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, |y| = x^3 \}$ est une relation fonctionnelle.
L'assertion proposée est vraie ou fausse ? 












\newpage

\section*{Réponses au QCM}

\noindent Nom: ..........................

\noindent Prénom: ..........................


\begin{large}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c||l|c|c||l|c|c|}
\hline
Numéro & V & F & Numéro & V & F & Numéro & V & F \\ 
\hline
Q. 1 & &  & Q. 2 & &  & Q. 3 & &  \\ 
\hline
Q. 4 & &  & Q. 5 & &  & Q. 6 & &  \\ 
\hline
Q. 7 & &  & Q. 8 & &  & Q. 9 & &  \\ 
\hline
Q. 10 & &  & Q. 11 & &  & Q. 12 & &  \\ 
\hline
Q. 13 & &  & Q. 14 & &  & Q. 15 & &  \\ 
\hline
Q. 16 & &  & Q. 17 & &  & Q. 18 & &  \\ 
\hline
Q. 19 & &  & Q. 20 & &  & Q. 21 & &  \\ 
\hline
Q. 22 & &  & Q. 23 & &  & Q. 24 & &  \\ 
\hline
Q. 25 & &  & Q. 26 & &  & Q. 27 & &  \\ 
\hline
Q. 28 & &  & Q. 29 & &  & Q. 30 & &  \\ 
\hline
Q. 31 & &  & Q. 32 & &  & Q. 33 & &  \\ 
\hline
Q. 34 & &  & Q. 35 & &  & Q. 36 & &  \\ 
\hline
Q. 37 & &  & Q. 38 & &  & Q. 39 & &  \\ 
\hline
Q. 40 & &  & Q. 41 & &  & Q. 42 & &  \\ 
\hline
Q. 43 & &  & Q. 44 & &  & Q. 45 & &  \\ 
\hline
Q. 46 & &  & Q. 47 & &  & Q. 48 & &  \\ 
\hline
Q. 49 & &  &  & &  &  & &  \\ 
\hline
\end{tabular} 
\end{center} 
\end{large}

\end{document}